|
|
|
Непрерывность функции.
В пунтке понятия о непрерывности функции вы познакомились с понятием непрерывности функции в точке. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то ее называют непрерывной на промежутке I (промежуток I называют промежутком непрерывности функции f). При переходе от одной точки этого промежутка к близкой ей точке значение функции меняется мало; график f на этом промежутке представляет собой непрерывную линию, о которой говорят, что ее можно «нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги». (Так, во всяком случае, обстоит дело для непрерывных функций, изучаемых в школьном курсе.)
Как было показано в пункте правила вычисления производных, функция, дифференцируемая в точке x0, непрерывна в этой точке. Все дробно-рациональные и основные тригонометрические функции дифференцируемы во всех точках своих областей определения. Следовательно, эти функции и непрерывны в каждой из этих точек.
Например, из дифференцируемости функции f (х) = x2 на всей
прямой, а функции f(x) = 1/x на промежутках (—∞;0) и (0;+∞) вытекает непрерывность этих функций на соответствующих промежутках.
Отметим следующее свойство непрерывных функций:
Если на интервале (а; b) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.
Это утверждение имеет наглядную интерпретацию. Допустим, что найдутся такие точки х1 и x2 интервала (а; b), что f{x1) <0, a f{x2)>0.
Тогда непрерывная кривая (график функции f), соединяющая точки A(x1; f(x1)) и В (х2; f(х2 )), разделенные прямой у = 0, пересекает эту прямую в некоторой точке x3 данного интервала (см. рис.), т. е. f (х3)=0. (Представим себе, что точки А и В находятся на разных берегах реки, изображаемой интервалом (а; b). Ясно, что туристу, для того чтобы попасть из А в В, надо где-то перейти реку.) Это противоречит условию: функция f не обращается на интервале (а; b) в нуль.
|
| |
|
|
