|
|
|
Основные правила дифференцирования. Произведение.
Если функции и и v дифференцируемы в точке х0, то их произведение дифференцируемо в этой точке и
(uv)' = u'v+uv'.
1) Найдем сначала приращение произведения:
Δ(uv) = u(х0+Δx)v(х0+Δx)-u(х0)v(х0)=(u(х0)+ Δu)(v(х0)+ Δv)-u(х0)v(х0) =
=u(х0)v(х0)+ Δuv(х0)+u(х0) Δv+ΔuΔv-u(х0)v(х0)= Δuv(х0)+u(х0) Δv+ΔuΔv
2)
3) В силу дифференцируемости функций u и v в точке х0 при Δx→0 имеем
Поэтому
т. е. (uv)' = u'v+uv', что и требовалось доказать.
Следствие. Если функция u дифференцируема в х0, а С — постоянная, то функция Сu дифференцируема в этой точке и
(Сu)' = Сu'.
Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Для доказательства воспользуемся правилом 2 и известным из пункта о производной, фактом С' = 0:
(Сu)' = Сu' + С'u = Cu' + 0⋅u = Cu'.
|
| |
|
|
