|
|
|
Производная. Диффиренцирование.
Рассмотренные две задачи о вычислении углового коэффициента касательной к параболе в точке с абсциссой x0 = 1 и нахождении мгновенной скорости тела, брошенного вверх со скоростью v0, имели различные формулировки. Однако в обоих случаях мы действовали, по существу, придерживаясь одной схемы. В применении к произвольной функции f и любой точке х0 ее области определения эта схема может быть описана следующим образом.
1) С помощью формулы, задающей функцию f, находим ее приращение в точке х0:
Δf=f(x0+ Δx) – f(x0)
2) Находим выражение для разностного отношения Δf/Δy
которое затем преобразуем — упрощаем, сокращаем на Δx и т. п.
3) Выясняем, к какому числу стремится Δf/Δx, если считать, что Δх стремится к нулю.
Найденное таким образом число иногда называется (по аналогии с физикой) скоростью изменения функции f в точке х0 или (что более принято) производной функции f в точке x0.
Определение. Производной функции f в точке х0 называется число, к которому стремится разностное отношение
при Δх, стремящемся к нулю.
Производная функции f в точке х0 обозначается f`(х0) (читается: «Эф штрих от Х0»).
Функцию, имеющую производную в точке x0, называют дифференцируемой в этой точке. Пусть D1 - множество точек, в которых функция f дифференцируема. Сопоставляя каждому x∈D1 число f`(x), получим новую функцию с областью определения D1. Эта функция называется производной функции y=f(x) и обозначается f` или y`.
Нахождение производной данной функции f называется диффиренцированием.
Вот некоторые формулы дифференцирования:
(x2)` = 2x, (x3)`=3x2, (kx+b)`=k.
Полагая в формуле (kx+b)`=k, что k=0, b=С, где С - произвольная постоянная, получаем, что С`=0, т.е. производная постоянной равна нулю.
|
| |
|
|
