|
|
|
Производная сложной функции.
Если функция f имеет производную в точке х0, а функция g имеет производную в точке y0=f(x0)y то сложная функция h(х) = g(f(х)) также имеет производную в точке х0, причем
h’(x0) = g’(f(x0))•f’(x0) (1)
Для доказательства формулы (1) надо (как и раньше) при
Δx≠0 рассмотреть дробь Δh/Δx и установить, что
при Δx→0. Введем обозначения:
Δy = f(x0+Δx)-f(x0)= Δf
Тогда Δh = h(х0 + Δх) - h(x0) = g(f(x0 +Δx)) - g(f(x0)) = g(y0 + Δy) - g(y0) = Δg.
Δy→0 при Δx→0, так как f дифференцируема в точке x0.
Далее доказательство мы проведем только для таких функций f, у которых Δf≠0 в некоторой окрестности точки х0. Тогда
при Δx→0, так как Δf/Δx→f’(x0) при Δx→0, а Δg/Δy→g’(y0) при Δy→0, что выполнено при Δx→0.
|
| |
|
|
