|
|
|
Теорема о пропорциональных отрезках.
|
|
Теорема о пропорциональных отрезках
Теорема.
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
Доказательство.
Пусть стороны угла A пересекаются параллельными прямыми в точках B, B1, C, C1.
Теоремой утверждается, что
Разделим отрезок AC на n равных частей. Пусть δ – длинна отрезка деления и AC = nδ.
Возможны два случая:
1)
Существует такое n, при котором B – точка деления. То есть существует m < n такое, что AB = mδ.
Проведем через точки деления отрезка AC прямые, параллельные прямой CC1. По теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок
AC1 на равные отрезки некоторой длины δ1. Получаем AB1 = mδ1, AC1 = nδ1. Из этого
2)
Ни при каком n, B1 не является точкой деления. Допустим, что
Отложим на луче AC1 отрезок AD = (AC1/AC)*AB . При этом AD < AB1.
Разобьем AC1 на достаточно большое число n равных частей. Проведем через точки деления прямые,
параллельные СС1. При достаточно большом n на отрезке DB1 будут точки деления.
Обозначим одну из них как точку Y и проведем через нее прямую параллельную СС1, которая пересекает луч AC в точке X. По доказанному
Заменим AY меньшей величиной AD, а AX большей величиной AB. Тогда
Отсюда
Что противоречит построению отрезка AD. Теорема доказана.
|
| |
|
|
