|
|
|
Производная степенной функции.
Формула для вычисления производной степенной функции xn, где n — произвольное натуральное число, большее 1, такова:
(xn)’=nxn-1 (1)
Формула производной функции х2 уже известна: (х2)' = 2х. Пользуясь формулой дифференцирования произведения, получаем:
(x3)’=( x2⋅x)’= (x2)’x+ x2(x)’= 2x⋅x + x2⋅1=3 x2;
(x4)’=( x3⋅x)’= (x3)’x+ x3(x)’= 3x2⋅x+ x3⋅1=4x3.
Заметим теперь, что
(x2)’=2x2-1, (x3)’=3x3-1, (x4)’=4x4-1,
т.е. для n, равного 2, 3 и 4, формула (1) доказана. Продолжая аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться в справедливости формулы (1) для n, равного 5, 6 и т. д.
Докажем, что формула (1) верна для любого натурального n>4.
Допустим, что формула (1) верна при n = k, т. е. что
(xk)’=kxk-1.
Покажем, что тогда формула (1) верна при n = k+1. Действительно,
(xk+1)’=(xk⋅x)’=( xk)’⋅x + xk⋅(x)’= kxk-1⋅x + xk = (k+1) xk
Поэтому из того, что формула (1) верна при п = 4, следует, что она верна и при n = 5, но тогда она верна и при п = 6, а следовательно, и при n = 7 и т. д. до любого n∈ N (строгое доказательство основано на методе математической индукции).
Если n = 1 или n = 0, то при х≠0 эта формула также справедлива. Действительно, по формуле (1) при х≠0
(x1)’=1⋅x1-1 = 1⋅x0 =1,
(x0)’=0⋅x0-1 = 0,
что совпадает со значениями производных функций х и 1, уже известными из предыдущего пункта.
Пусть, наконец, п — целое отрицательное число, тогда n = —m, , где т — число натуральное. Применяя правило дифференцирования частного и пользуясь уже доказанной для натуральных т формулой (1), получаем при х≠0:
В результате можно сделать вывод:
Для любого целого n и любого x (x≠0 при n≤1)
(xn)'=nxn-1
Из дифференцируемости степенной функции и основных правил вычисления производных вытекает, что целые рациональные функции (многочлены) и дробно-рациональные функции дифференциремы в каждой точке своей области определения.
|
| |
|
|
