|
|
|
Понятие о касательной к графику функции.
Графики практически всех известных вам функций изображались в виде гладких кривых. Рассмотрим, как геометрически устроены такие кривые, на конкретном примере — графике функции у = х2 (рис. 1) при значениях аргумента, близких к 1.
Для этого увеличим единицу масштаба (по сравнению с масштабом рисунка 1) в 10 раз; в этом масштабе построим график у=х2 ( на отрезке [0,5; 1,5] (рис. 2). Затем, увеличивая масштаб еще в 10 раз, построим график функции на отрезке [0,95; 1,05] (рис. 3) На этом рисунке хорошо видно, что при значениях, близких к 1, график функции у — х2 ( практически не отличается от маленького отрезка прямой у=2х—1, т. е. точки графика данной функции как бы «выстраиваются» вдоль этой примой.
Аналогичным свойством обладает любая гладкая кривая: произвольный ее маленький участок практически не отличается от отрезка некоторой прямой l. Отметим, что для каждой точки гладкой кривой соответствующая этой точке прямая (т. е. прямая, отрезком которой мы представляем себе маленький участок кривой) вполне определена. Чтобы понять это, обратимся к следующей наглядной иллюстрации.
Допустим, мы хотим изготовить трафарет, чтобы быстро рисовать синусоиду, параболу или гиперболу и т. п. Для этого предварительно на миллиметровой бумаге строится возможно точнее график этой кривой. Как вы можете убедиться, с помощью ножниц удается аккуратно вырезать трафарет, граница которого — нужная нам кривая. Положение ножниц в каждой точке (а оно и задает искомую прямую в этой точке) вполне определено: любое отклонение ножниц в ходе разрезания от этого положения приводит либо к появлению выступа, либо к прорезу трафарета.
Проходящую через точку (x0;f (x0;)) прямую, с отрезком которой практически сливается график функции f при значениях х, близких к x0, называют касательной к графику функции f в точке (х0; f (х0)). Возникает естественная задача: определить точное положение касательной к графику данной функции f в заданной точке.
Координаты одной точки прямой l известны — это точка (x0;f (x0))- Остается найти угловой коэффициент k касательной
В качестве примера рассмотрим функцию у = х2 . Ее график в малой окрестности точки x0 близок к отрезку касательной l. Поэтому естественно ожидать, что угловые коэффициенты секущих, проходящих через точки (х0; х02 ) и (x0)) +Δx; (x0)) + Δx) 2 ), будут близки к угловому коэффициенту k, если Δx будет неограниченно приближаться к нулю (т. е. точка х приближается к x0)
Угловой коэффициент k (Δx) секущей, проходящей через точки (х0; у(х0)) и (х0+?x ; у(х0 + Δx), равен Δx/Δy, где Δy — приращение функции у в точке x0, соответствующее приращению Δx аргумента. Для функции у = х2
Чтобы найти угловой коэффициент касательной, остается выяснить, к какому значению близко k (Δx), если Δx приближается к нулю. Очевидно, что k (Δx) близко к 2x0. Следовательно, при очень малых значениях Δx угловой коэффициент секущей близок к 2х0. При x0 = 1 получаем k = 2. Учитывая, что искомая касательная проходит через точку (1; 1), приходим к выводу, что уравнение касательной таково: у=2х— 1. К этому же выводу пришли в на чале пункта из чисто наглядных соображений.
|
| |
|
|
