|
|
|
Теория по алгебре >> Пример функции, непрерывной, но не дифференцируемой в данной точке.
|
|
Пример функции, непрерывной, но не дифференцируемой в данной точке.
Примером такой функции является функция f(x) = |x| (рис.), которая непрерывна, но не дифференцируема в нуле. Напомним, что
Непрерывность функции f (x)=|x| в любой точке (в том числе и в нуле) очевидна.
Рассмотрим график этой функции. Для любого х>0 в некоторой окрестности точки x0>0 функция равна х, и поэтому производная ее в таких точках равна х', т. е. |x|’=1 при х>0. Так как |х| = —х при х<0, то |x|'= —1 при отрицательных значениях х. В точке 0 функция f(x)=|x| не имеет производной.
Докажем это методом от противного. Допустим, что f(х)=|x| имеет производную в нуле, т. е. Δf(0)/Δx стремится к некоторому числу А при Δx→0. Тогда при всех достаточно малых |Δx| значения Δf/Δx близки к А, и, в частности, при малых значениях Δx должно выполняться неравенство
При Δx>0 справедливо неравенство |1—A|<1, откуда —1<1—A< 1, т. е.
0<A<2. (1)
Для Δx<0 справедливо неравенство |—1—A|<1, откуда —1<—1—A<1, т. е.
—2<A<0. (2)
Неравенства (1) и (2) противоречивы. Следовательно, наше допущение о существовании производной функции f(х)=|x| в нуле неверно.
Итак,
|
| |
|
|
