|
|
|
Формула Лагранжа.
Воспользуемся геометрическим смыслом производной, чтобы дать наглядные пояснения справедливости того, что существует касательная к графику f в точке с абсциссой с из интервала (а; b), параллельная секущей, проходящей через точки A (a; f (а)), В (b; f (b)).
Рассмотрим прямую l, параллельную АВ и не имеющую общих точек с частью графика, соответствующей промежутку [а; b]. Будем перемещать эту прямую l по направлению к графику f так, чтобы она оставалась параллельной АВ. Зафиксируем положение l0 этой прямой в момент, когда у нее появятся общие точки с этой частью графика.
Из рис.1 видно, что любая из таких «первых» общих точек — точка касания прямой l0 с графиком f. Обозначим абсциссу этой точки через с. Тогда f’(c)=tg α, где α — угол между прямой l0 и осью абсцисс. Но l||АВ, поэтому угол α равен углу наклона секущей АВ, т. е.
Итак, если функция дифференцируема, то на интервале (а; b) найдется такая точка c∈ (а; b) (рис. 2), что
Эта формула называется формулой Лагранжа.
|
| |
|
|
