|
|
|
Арифметический корень n-й степени.
Определение. Арифметическим корнем n-й степени из числа a называют неотрицательное число, n-я степень которого равна а.
Арифметический корень обозначают n√a. Число n называют показателем корня, а само число a - подкоренным выражением.
Знак корня √ называют радикалом.
При четных n функция f(x)=xn четна, следовательно, если a>0, то уравнение xn=a кроме корня
x1=n√a, имеет так же корень x2=-n√a. Если a=0, то корень всего
один: x=0. Если a<0, то это уравнение корней не имеет, так как четная степень любого числа неотрицательна.
Таким образом, при четном n существуют два корня n-й степени из любого положительного числа a. Корень n-й степени из
числа 0 равен нулю, а корней четной степени из отрицательных чисел не существует.
При нечетных значениях n функция f(x)=xn возрастает на всей числовой прямой, ее область значений -
множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим, что уравнение xn=a имеет один корень
для любого значения a, и, в частности, при a<0. Этот корень для любого значения а, в том числе и нечетного, обозначают n√a.
Резюмируя вышесказанное, можно сделать вывод: принечетном n существует корень n-й степени из любого числа a и притом только один.
Для корней нечетной степени справедливо равенство:
n√-a=-n√a
Доказывается это равенство просто.
(-n√a)n=(-1)n(n√a)n=-1*a=-a,
то есть число -n√a есть корень n-й степени из -а, но такой корень при нечетном n единственный, следовательно
n√-a=-n√a.
Вышеприведенное равенство поволяет выражать и вычислять корни с нечетной степенью из
отрицательных чисел.
Замечание 1.
Для любого действительного x: n√an = |x|, если n четно;
n√an = x, если n нечетно.
Замечание 2.
Считают, что корень первой степени из числа равен этому же числу. Квадратным корнем называют
корень второй степени (при этом показатель степени опускают и пишут просто знак радикала). Корень третьей
степени называют кубическим корнем.
|
| |
|
|
