|
|
|
Уравнение прямой
Теорема
Уравнение вида ax + by + c = 0 при условии, что a и b одновременно не равны нулю, задает прямую в плоскости Oxy, и наоборот, уравнение произвольной прямой может быть записано в указанном виде.
Доказательство.
Пусть l – произвольная прямая в плоскости Oxy. Проведем какую-нибудь прямую перпендикулярно прямой l. Пусть они пересекаются в некоторой точке D. Отложим на перпендикулярной прямой точки B и C так чтобы BD=DC.
Пусть a1, b1 – координаты точки B и a2, b2 – координаты точки С. Как известно, любая точка A (x; y) прямой l равноудалена от точек B и С. Поэтому координаты точки A удовлетворяют уравнению
Верно и обратное: если координаты x и y какой-либо точки удовлетворяют данному уравнению, то эта точка равноудалена от точек B и C, а значит, принадлежит прямой l. Таким образом, уравнение является уравнением прямой l.
Раскроем скобки в этом уравнении и перенесем все ее члены в левую часть:
Сгруппируем члены так:
Обозначим
Получим
Теорема доказана.
Замечание.
Если a = b = 0, то уравнение ax + by + c = 0 имеет вид c = 0. При этом любая точка плоскости удовлетворяет исходному уравнению, а если a = b = 0, а c ? 0, то ни одна точка плоскости Oxy не удовлетворяет данному уравнению.
|
| |
|
|
