|
|
|
Свойство умножения вектора на число
|
|
Свойство умножения вектора на число
Теорема
Абсолютная величина вектора λa равна |λ| |a|. Направление вектора λa при a≠ 0 совпадает с направлением вектора a, если λ>0, и противоположно направлению вектора a, если λ<0.
Доказательство.
Построим векторы OA и OB равные a и λa соответственно (O – начало координат). Пусть a1 и a2 – координаты вектора a. Тогда координатами точки A будут числа a1 и a2 координатами точки B – числа λa1 и λa2. Уравнение прямой OA имеет вид: αx + βy = 0.
Так как уравнению удовлетворяют координаты точки A (a1; a2), то ему удовлетворяют и координаты точки B (λa1; λa2). Отсюда следует, что точка B лежит на прямой OA. Координаты c1 и c2 любой точки C, лежащей на луче OA, имеют те же знаки, что и координаты a1 и a2 точки A, и координаты любой точки, которая лежит на луче, дополнительном к OA, имеют противоположные знаки.
Поэтому, если λ > 0, то точка B лежит на луче OA, а следовательно, векторы a и λa одинаково направлены. Если λ < 0, то точка B лежит на дополнительном луче и векторы a и λa противоположно направлены.
Абсолютная величина вектора λa равна:
Теорема доказана.
|
| |
|
|
