|
|
|
Сумма углов треугольника
Теорема.
Сумма углов треугольника равна 180º.
Доказательство.
Пусть дан треугольник ABC. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC.
Отметим на полученной прямой точку D так, чтобы она лежала в другой полуплоскости относительно прямой BC.
∠ CAB и ∠ ABD – внутренние односторонние углы для параллельных прямых AC и BD с секущей AB, тогда:
∠ CAB + ∠ ABD = 180º ⇒ ∠ ABD = 180º - ∠ CAB
∠ ABD = ∠ ABC + ∠ CBD.
Так как ∠ CBD = ∠ ACB как внутренние накрест лежащие, образованные пересечением параллельных прямых BD и AC c секущей BC, то
∠ ABD = ∠ ABC + ∠ ACB
Приравниваем ∠ ABD:
∠ ABC + ∠ ACB = 180º - ∠ CAB
И ∠ ABC + ∠ ACB + ∠ CAB = 180º
Теорема доказана.
Из теоремы следует:
У любого треугольника хотя бы два угла острые.
Доказательство.
Допустим, что у треугольника один угол острый или вообще нету. Тогда, по крайней, у этого треугольника два тупых угла. А градусная мера тупого угла больше 90º. Значит сумма двух тупых углов уже будет больше 180º. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника 180º. Что и требовалось доказать.
|
| |
|
|
