|
|
|
Теорема о корне.
При решении уравнеий полезно пользоваться следующей теоремой.
Теорема. Пусть функция f возрастает (или убывает) на промежутке I,
число а - любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда
уравнение f(x)=a имеет единственный корень на этом промежутке I.
Доказательство. Рассмотрим возрастающую функцию f (в случае, если
f - убывающая функция, рассуждения аналогичны). По условию в промежутке
I существует такое число b, что f(b)=a. Надо показать, что b - единственный
корень уравнения f(x)=a.
Допустим, что на промежутке I есть еще число c ≠ b, такое, что f(c)=a.
Тогда или c < b или c > b. Но функция f возрастает на промежутке I,
поэтому соответственно либо f(c) < f(b), либо f(c) > f(b). Это
противоречит равенству f(c)=f(b)=a. Следовательно, сделанное предположение
неверно и кроме числа b, других корней на промежутке I у уравнения f(x)=a нет.
|
| |
|
|
