|
|
|
Основные правила дифференцирования. Сумма.
Выведем несколько правил вычисления производных, В этом пункте значения функций u и v и их производных в точке х0 обозначаются для краткости так: u(х0) = u, v(х0) = v, u'(х0) = u', v'(х0)=v`.
Если функции u и v дифференцируемы в точке х0, то их сумма дифференцируема в этой точке и
(u+v)' = u' + v'.
Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.
1) Для доказательства вычислим сначала приращение суммы функций в рассматриваемой точке:
Δ(u+v) = u (х0+Δx)+ v(х0+Δx) – (u(х0)+v(х0)) = (u(х0+Δx)-u(х0)) + (v(х0+Δx)-v(х0)) = Δu + Δv
2) 
3) Функции u и v дифференцируемы в точке х0, т. е. при Δх→0
Тогда
при Δх→0 (см. правило 3, а) предельного перехода), т. е. (u+v)' = u'+v’
Лемма. Если функция f дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке: Δf→0 при Δx→0, т. е.
f(х0 + Δх)→f (х0) при Δx→0.
Действительно,
при Δх→0, так как
Итак, Δf→0 при Δx→0, т. е. для дифференцируемых функций f (х0 + Δx)→f (х0) при Δх→0.
|
| |
|
|
