|
|
|
Площадь круга
Теорема
Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус.
Доказательство
Построим два правильных n-угольника: P1 – вписанный в круг и P2 – описанный около круга.
Многоугольники P1 и P2 являются простыми фигурами. Многоугольник P2 содержит круг, а многоугольник P1 содержится в круге. Радиусы, проведенные в вершины многоугольника разбивают его на n треугольников, равных треугольнику AOD. Поэтому
где p – периметр многоугольника P1, R – радиус треугольника. Аналогично находим площадь многоугольника P2
Итак, многоугольник P1, содержащийся в круге, имеет площадь
И многоугольник P2, содержащий круг, имеет площадь
При достаточно большом n периметр p отличается сколь угодно мало от длины l окружности, а cos α сколь угодно мало отличается от единицы, поэтому площади многоугольников P1 и P2 сколь угодно мало отличаются от величины lR/2. Согласно определению площади произвольной фигуры это значит, что площадь круга
Теорема доказана.
|
| |
|
|
