|
|
|
Периодические функции.
Очень многие процессы в окружающем нас мире имеют повторяющийся характер.
Например, раз в год повторяется взаимное расположение Земли и Солнца.
С течением времени повторяются день и ночь, приливы и отливы. Положение
маятника в моменты времени, отличающиеся на период
колебаний маятника, одинаковы.
Процессы такого рода называют периодическими. Фунции, которые описывают эти процессы,
так же называют периодическими.
Известные нам тригонометрические функции являются периодическами. Для любого числа x и любого
целого числа k выполнчется sin(x+2πk)=sin(x), следовательно 2πk; k - целове число, - период
функции синуса.
В общем случае говоря о периодичести функции f полагают, что имеется такое число T≠0, что
область определения D(f) вместе с каждой точкой x содержит и точки, получающиеся из точки x
параллельным переносом вдоль оси OX (вправо и влево) на расстояние T. Функцию f называют
периодической с периодом T≠0, если для любого x из области определения значения этой функции
в точках x; x-T; x+T равны, то есть f(x-T) = f(x) = f(x+T).
Поскольку синус и косинус определены на всей числовой прямой, а так же sin(x+2π) = sin(x);
cos(x+2π)=cos(x) для любого x, синус и косинус - периодические функции с периодом 2π.
Тангенс и котангенс - периодические фугкции с периодом π. В самом деле, области определения
этих функций вместе с каждым x содержит числа x+π и x-π и верны равенства tg(x+π) = tg(x),
ctg(x+π)= ctg(x).
Если фугкция f периодическая с периодом T, то при любом целом n≠0, число nT так же
является периодом этой функции. Например, пусть n=3. Воспользуемся опредедением периодической
функции: f(x+3T) = f((x+2T)+T) = f(x+2T) = f((x+T)+T) = f(x+T) = f(x).
|
| |
|
|
