справочник телефонов города новосибирска как найти номер телефона человека из германии база данных телефонов ленинградской области тут найти человека по номеру телефона ярославль поиск человека по фамилии и справочник телефонов узнать как найти адрес человека по фамилии и имени справочник для мобильных телефонов база данных мобильных телефонов мурманска телефонная база санкт петербурга torrent поиск людей по сотовому телефонная база городов справочник телефонов светлогорска телефонная база чита ссылка справочник телефонов найти найти человека по бывшей фамилии ссылка как по номеру мобильного телефона найти владельца ссылка справочник телефонов приморского края телефонный справочник 2015 год москва телефонный поиск владельцев по номеру мобильного телефона тут телефонная база мобильных операторов украины узнать адрес частного лица по номеру телефона Блог Уфича
СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Школьная математика
Высшая математика
Математика ЕГЭ
Физика
Репетиторы
Теория по алгебре >> Пример функции, непрерывной, но не дифференцируемой в данной точке.


Пример функции, непрерывной, но не дифференцируемой в данной точке.




функции x по модулю


Примером такой функции является функция f(x) = |x| (рис.), которая непрерывна, но не дифференцируема в нуле. Напомним, что

формула функции x по модулю


Непрерывность функции f (x)=|x| в любой точке (в том числе и в нуле) очевидна.

Рассмотрим график этой функции. Для любого х>0 в некоторой окрестности точки x0>0 функция равна х, и поэтому производная ее в таких точках равна х', т. е. |x|’=1 при х>0. Так как |х| = —х при х<0, то |x|'= —1 при отрицательных значениях х. В точке 0 функция f(x)=|x| не имеет производной.

Докажем это методом от противного. Допустим, что f(х)=|x| имеет производную в нуле, т. е. Δf(0)/Δx стремится к некоторому числу А при Δx→0. Тогда при всех достаточно малых |Δx| значения Δf/Δx близки к А, и, в частности, при малых значениях Δx должно выполняться неравенство

неравенство


При Δx>0 справедливо неравенство |1—A|<1, откуда —1<1—A< 1, т. е.

0<A<2. (1)


Для Δx<0 справедливо неравенство |—1—A|<1, откуда —1<—1—A<1, т. е.

—2<A<0. (2)


Неравенства (1) и (2) противоречивы. Следовательно, наше допущение о существовании производной функции f(х)=|x| в нуле неверно. Итак,

функции x по модулю


Теория вероятностей, математическая статистика | Математический форум