|
|
|
|
|
Касательная к графику функции.
С понятием касательной к графику функции вы уже знакомы. График дифференцируемой в точке х0 функции f вблизи х0 практически не отличается от отрезка касательной, а значит, он близок к отрезку секущей l, проходящей через точки (х0; f (х0)) и (х0+Δx; f (x0 + Δx)). Любая из таких секущих проходит через точку А (х0; f (х0)) графика (рис. 1). Для того чтобы однозначно задать прямую, проходящую через данную точку A, достаточно указать ее угловой коэффициент. Угловой коэффициент Δy/Δx секущей при Δх→0 стремится к числу f ‘(x0) (его мы примем за угловой коэффициент касательной) Говорят, что касательная есть предельное положение секущей при Δх→0.
Если же f’(х0) не существует, то касательная либо не существует (как у функции у = |x| в точке (0; 0), см. рис. ), либо вертикальна (как у графика функции в точке (0; 0), рис.2).
Итак, существование производной функции f в точке хо эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х0, f (х0)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f' (х0). В этом состоитгеометрический смысл производной
Касательная к графику дифференцируемой в точке xо функции f — это прямая, проходящая через точку (x0; f (x0)) и имеющая угловой коэффициент f ‘(х0).
Проведем касательные к графику функции f в точках x1, х2, х3 (рис. 3) и отметим углы, которые они образуют с осью абсцисс. (Это угол, отсчитываемый в положительном направлении от положительного направления оси до прямой.) Мы видим, что угол α1 острый, угол α3 тупой, а угол α2 равен нулю, так как прямая l параллельна оси Ох. Тангенс острого угла положителен, тупого — отрицателен, tg 0 = 0. Поэтому
f'(x1)>0, f’(x2)=0, f’(x3)<0.
Построение касательных в отдельных точках позволяет более точно строить эскизы графиков. Так, например, для построения эскиза графика функции синус предварительно находим, что в точках 0; π/2 и π производная синуса равна 1; 0 и -1 соответственно.
Построим прямые, проходящие через точки (0; 0), (π/2,1) и (π, 0) с угловыми коэффициентами 1, 0 и -1 соответственно (рис. 4) Остается вписать в полученную трапецию, образованную этими прямыми и прямой Ох, график синуса так, чтобы при х, равном 0, π/2 и π, он касался соответствующих прямых.
Отметим, что график синуса в окрестности нуля практически не отличим от прямой у = х. Пусть, например, масштабы по осям выбраны так, что единице соответствует отрезок в 1см. Имеем sin 0,5 ≈ 0,479425, т. е. |sin 0,5 — 0,5| ≈ 0,02, и в выбранном масштабе это соответствует отрезку длиной 0,2 мм. Поэтому график функции y = sin x в интервале ( -0,5; 0,5) будет отклоняться (в вертикальном направлении) от прямой у = х не более чем на 0,2 мм, что примерно соответствует толщине проводимой линии.
|
| |
|
|
|
