|
|
|
Тригонометрическое уравнение sin(t)=a.
Рассмотрим уравнение sin(t)=a. Очевидно, что оно не имеет решений
в случае, если |a|>1, так как |sin(t)|≤t для любого t.
Далее будем рассматривать случай, когда |a|≤1. На отрезке
[-π/2 ; π/2] уравнение имеет в точности одно решение t1=arcsin(a).
На промежутке [π/2 ; 3π/2] функция синуса убывает и принимает значения от -1 до 1,
следовательно, по теореме о корне, на этом промежутке уравнение имеет один корень,
равный π - arcsin(a), это видно из рисунка ниже.
Таким образом, на промежутке [-π/2 ; 3π/2] уравнение имеет два решения, t1=arcsin(a) и
t2=π - arcsin(a), которые совпадают при а=1. Учитывая периодичность синуса (период равен 2π),
получим формулы для записи всех решений уравнения:
t=arcsin(a)+2πn,
t=π - arcsin(a) + 2πn, n - целое.
Эти две формулы можно объединить в одну:
t=(-1)karcsin(a)+πk, k - целое.
Для уравнения sin(t)=1 решение записывается в виде:
t=π/2+2πn, n - целое.
Для уравнения sin(t)=-1 решение записывается в виде:
t=-π/2+2πn, n - целое.
Для уравнения sin(t)=0 решение записывается в виде:
t=πn, n - целое.
|
| |
|
|
